To‘liq matnli dars: 12 nazariya bo‘limi, 24 topshiriq, uchta besh qadamli namuna va 6 laboratoriya.
Bu o‘qish nusxasi — mustaqil sinov emas
Bu sahifa JavaScriptsiz ishlaydi. Javoblar, birinchi urinish, ochilgan yordam va o‘qish holati saqlanmaydi; avtomatik tekshiruv va baho yo‘q. Javoblarni daftaringizda yozishingiz mumkin.
Yordam, yechim va laboratoriya natijalari yopiq bo‘limlarda. Ularni ochib o‘qish mumkin, ammo barcha javobli matn allaqachon sahifa faylida mavjud; bu imtihon maxfiyligi yoki mustaqil urinish dalili emas.
Namuna ichidagi «ochildi» yoki «qayd qilinadi» iboralari interaktiv dars oqimini tushuntiradi. Ushbu nusxada hech qanday amal qayd etilmaydi. Saqlanadigan ish uchun interaktiv darsni oching.
Nazariya
B1 · Bugun qanday masalani hal qilamiz?
Qiyalikni bilsangiz, chiziqda x o‘zgarganda y qancha o‘zgarishini bilasiz. Lekin chiziq tekislikning qayeridan o‘tishini hali bilmaysiz. Bugun yana bitta nuqtadan foydalanib, aynan kerakli chiziqning tenglamasini tuzasiz.
Dars oxirida tenglamani topishdan tashqari, «Bu javob berilgan nuqtadan o‘tadimi? Qiyaligi mosmi?» degan ikki savol bilan uni tekshira olasiz. Vertikal chiziq uchraganda formulani zo‘rlab ishlatmay, unga mos yozuvni tanlaysiz.
Avval D1–D3 bilan tayanchingizni tekshiring. Qiynalsangiz, bu darsga tayyor emassiz degani emas: aynan kerakli amalni takrorlab qaytamiz. Bugun hamma mashqni tugatish shart emas. Asosiy yo‘lni bo‘lib o‘rganish, keyingi kirishda mustahkamlash va chuqurlashtirish mumkin.
B2 · Bir xil qiyalik, uch xil joylashuv
G-L1 chizmada uchta chiziq bor: A uchun y=x−2, B uchun y=x+1, C uchun y=x+4. Ularning har birida x bir birlik oshsa, y bir birlik oshadi. Shunga qaramay, ular bitta chiziq emas.
P(2; 3) nuqtani ko‘ring. Tekshirishdan oldin, qaysi chiziq Pdan o‘tishini bashorat qiling va nima uchun shunday o‘ylaganingizni yozing.
y=mx+b yozuvida m — qiyalik, b — x=0 bo‘lgandagi y qiymati. Demak y o‘qi bilan kesishish nuqtasi (0; b). Chiziqdagi istalgan P(x₁; y₁) nuqta esa shu tenglamani bajarishi kerak:
y₁=mx₁+b.
Bu yerda x₁, y₁ va m ma’lum bo‘lsa, noma’lum b qoladi. Ikkala tomondan mx₁ ni ayiramiz:
b=y₁−mx₁.
Bu «nuqtaning y sini b o‘rniga yozing» degani emas. y₁ chiziqning x=x₁ dagidagi balandligi; b esa aynan x=0 dagidagi balandligi. x₁=0 bo‘lsa y₁ni b deb bevosita o‘qiymiz. Boshqa x₁da b ni shartdan hisoblash kerak. Ba’zan m=0 sabab ular teng chiqishi mumkin; teng chiqishi avtomatik qoida emas.
L2da P(2; 3) nuqta joyida turadi. m ni −1, 0, 2 qilib almashtirganda, har safar b qanday bo‘lishini avval taxmin qiling. Nuqta sharti o‘zgarmaydi: 3=2m+b.
F2da ikki turli nuqta uchun m=Δy/Δx edi. Vertikal bo‘lmagan chiziqda gorizontal siljish Δx bo‘lsa, vertikal siljish Δy=m·Δx bo‘ladi. Boshlanish nuqtasi P(x₁; y₁), boradigan nuqta (x; y) bo‘lsin. Unda Δx=x−x₁, Δy=y−y₁, shuning uchun:
y−y₁=m(x−x₁).
Bu nuqta–qiyalik yozuvi. Chap tomon Pdan keyin y qancha o‘zgarganini, qavs ichidagi ifoda esa x qancha o‘zgarganini bildiradi. m ikkalasini bog‘laydi. Bu yerda x₁ va y₁ — berilgan Pning o‘zgarmas koordinatalari; x va y esa chiziqdagi nuqtaga qarab o‘zgaradi.
Pning o‘zini qo‘ysak ikkala tomon ham 0 bo‘ladi. Shuning uchun tenglama Pni ham o‘z ichiga oladi. Bu nuqtada 0/0 hisoblamaymiz: nisbat orqali chiqarishda Δx≠0 sharti bor, siljish tengligida esa 0=m·0 to‘g‘ri.
Qavs ichidagi o‘zgarmas son b edi. Demak y=mx+b bilan y−y₁=m(x−x₁) boshqa-boshqa chiziqlar uchun emas; ayni shartning ikki yozuv usuli. Qaysi biri qulay bo‘lsa shundan boshlang. Manfiy x₁ni qo‘yishda qavsni saqlang: x−(−a)=x+a.
Nuqtani tekshirishda koordinatalarni qo‘ying. Qiyalikni tekshirishda y yolg‘iz ajratilgan y=mx+b shaklida x koeffitsiyentini o‘qing yoki ikki turli xli nuqta orqali nisbatni hisoblang. Har qanday ko‘rinishda x yonidagi sonni darhol m deyish mumkin emas: masalan 2y=6x+8 da avval ikkala tomonni 2 ga bo‘lish kerak.
Tenglamani nol bo‘lmagan songa ko‘paytirish yechim nuqtalarini saqlaydi. Nolga ko‘paytirib 0=0 olish esa chiziqni aniqlamaydi: bu tenglikni tekislikdagi barcha nuqtalar bajaradi.
B6 · N1 — birga to‘liq ishlaymiz
P(2; −1) va m=3/2. Qiyalikni allaqachon bilamiz, joylashuvni aniqlaymiz.
P(−4;−2), m=5/4 berilgan. Tenglamani tuzing, y o‘qi bilan kesishishini ayting va ikkala berilgan shartni tekshiring. Qaysi yozuvdan boshlashni o‘zingiz tanlang.
Agar ikki turli nuqtaning x qiymatlari farqli bo‘lsa, avval F2 yordamida qiyalikni topamiz. Keyin shu qiyalik va berilgan nuqtalardan istalgan bittasi bilan hozirgi usulni ishlatamiz. Yakunda ikkala nuqtani tekshiramiz.
Gorizontal chiziqda y o‘zgarmaydi: masalan y=−2. Uning qiyaligi 0, chunki turli xlar uchun Δy=0, Δx≠0. y=0x−2 deb yozish mumkin.
Vertikal chiziqda x o‘zgarmaydi: masalan x=1. Bu chiziqda bir xga turli ylar mos keladi. Shuning uchun uni chekli m,b bilan y=mx+b ko‘rinishida yozib bo‘lmaydi. Ammo x=1 uning to‘liq tenglamasi.
Gorizontal va vertikal chiziqlarni faqat ekrandagi ko‘rinishidan emas, qaysi koordinata o‘zgarmasligidan farqlang. «Nol qiyalik» va «qiyalik aniqlanmagan» bir xil holat emas.
y=−2
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
y=−2 chizig‘i. y o‘zgarmaydi; m=0. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −4 dan 4 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
x=1
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
x=1 chizig‘i. x o‘zgarmaydi; chekli qiyalik aniqlanmagan. Tenglama mavjud, y=mx+b shakli esa yaroqsiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −4 dan 4 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Gorizontal y=−2 uchun m=0. Vertikal x=1 uchun chekli qiyalik aniqlanmagan; uning tenglamasi baribir mavjud.
B11 · Tenglik va tasvirni ikki tomondan tekshiring
L5da uch yozuv beriladi: y−7=2(x−3), y=2x+1, 2x−y=−1. Qavs ochish va y ni ajratish bilan tekshiring.
L6da y=2x−1 chizig‘ini ikki xil ekran masshtabida ko‘rasiz.
Bu birlik almashtirishdan farq qiladi. Sekundni minutga, santimetrni metrga almashtirsak, koordinatalarning sonli qiymatlari ham almashadi. T4da tenglamaning butun yozuvini yangi birliklarga o‘tkazasiz, faqat ko‘rinishini emas. U kengaytma mashq; avval asosiy yo‘lni mustahkamlashingiz mumkin.
Avval M1–M3 va M5ni sinang. M1 bilan nuqta sharti, M2 bilan ikki nuqta, M3 bilan grafik masshtabi, M5 bilan maxsus holatlar tekshiriladi. M4 va M6ni keyingi mustahkamlash uchun qoldirishingiz mumkin. Xato bo‘lsa aynan unga tegishli klinika tavsiya qilinadi: bni chalkashtirish — K1, manfiy koordinata — K2, tenglikni noto‘g‘ri o‘zgartirish — K3, nolga bo‘lish — K4.
F1 va F2ni avval yordamsiz bajaring. Natijangizda faqat formula emas, nuqta, qiyalik va grafik orasidagi moslik ko‘rinsin. Yordamdan keyin R1 yoki R2 bilan yangidan sinab ko‘rish mumkin; oldingi urinish yo‘qolmaydi.
Keyingi kirishda T1/T2 bilan shart yetarliligi va mosligini baholang. T3 jarayon modeli chegarasi, T4 birlik almashtirish uchun chuqurlashtirishdir. Ikki kuzatuvdan to‘g‘ri chiziq chizish mumkinligi real jarayon har doim shu chiziqqa mos bo‘lishini isbotlamaydi. Bu fikrlar bo‘yicha dalilingiz asosiy hisob natijalaridan alohida qayd etiladi.
O‘zingizga uch savol bering: «Har bir berilgan shartni ishlatdimmi?»; «Tenglamam berilgan nuqtalarni haqiqatan qanoatlantiradimi?»; «Yozuvim nimani ayta oladi va nimani ayta olmaydi?». Bular tekshirish odatidir; yozilgan savollarning o‘zi avtomatik baho yoki o‘zlashtirish isbotiga aylantirilmaydi.
Topshiriqlar va bosqichli namunalar
Shart va javob bandlarini avval o‘qing. H1, H2 va H3 yordam pog‘onalari; namuna izohlari va to‘liq yechim alohida ochiladi. Bu sahifadagi o‘qish mustaqil ishlash natijasi sifatida hisoblanmaydi.
Tayanch diagnostika · Asosiy yo‘l
D1 · Nuqta shartni bajaradimi?
y=−2x+1 tenglama berilgan. P(2; −3) va Q(−1; 2) nuqtalarning har biri uchun x ni qo‘yib o‘ng tomonni hisoblang, berilgan y bilan taqqoslang. Qaysi nuqta tenglama tasvirlagan chiziqda yotadi? Tenglik chiqmasa, bu nuqta haqida aynan qanday xulosa chiqarasiz?
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
P uchun o‘ng tomon
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
P shu chiziqda yotadimi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
Q uchun o‘ng tomon
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Q shu chiziqda yotadimi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
Ikkala taqqoslash va tenglik chiqmagan nuqta haqidagi aniq xulosa
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
H1 — yordamni ochish
Berilgan nuqtada tenglik bajariladimi?
H2 — yordamni ochish
Har bir nuqtaning x qiymatini −2x+1 ga qo‘ying; natijani aynan shu nuqtaning y qiymati bilan taqqoslang.
H3 — yordamni ochish
P uchun −2·2+1=−3. Q uchun −2·(−1)+1=3. Natijalarni berilgan y bilan alohida solishtiring.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
P: −2·2+1=−3; berilgan y=−3, demak P chiziqda. Q: −2·(−1)+1=3; berilgan y=2 bilan teng emas, Q shu chiziqda emas. Bu Q umuman nuqta emasligini yoki boshqa hech qanday chiziqda yotmasligini anglatmaydi.
Dalil: har ikki hisob va alohida taqqoslash. Faqat «P» yetarli emas.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
P uchun o‘ng tomon
-3
P shu chiziqda yotadimi?
Ha
Q uchun o‘ng tomon
3
Q shu chiziqda yotadimi?
Yo‘q
OpenStax Elementary Algebra 2e, §4.1, koordinata va nuqtani tenglamaga qo‘yish tayanchi (HTML). Original topshiriq.
−5=(3/2)·(−2)+b tenglamani yeching. Avval ko‘paytmani hisoblang, keyin tenglikning ikkala tomoniga bir xil amal qo‘llab b ni yolg‘iz qoldiring. Topgan soningizni boshlang‘ich tenglamaga qo‘yib tekshiring.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
(3/2)·(−2)
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Ikki tomonga qanday bir xil amal qo‘lladingiz?
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
b
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Topilgan b bilan o‘ng tomon
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Boshlang‘ich tenglik bilan tekshiruv
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
H1 — yordamni ochish
b ni yolg‘iz qoldirish uchun qaysi hadni yo‘qotish kerak?
H2 — yordamni ochish
Avval ko‘paytmani hisoblang; uning qarama-qarshi sonini tenglikning ikkala tomoniga qo‘shing.
H3 — yordamni ochish
Ko‘paytma −3. −5=−3+b; ikkala tomonga 3 qo‘shilsa −2=b. Asl tenglamada tekshiring.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
Ko‘paytma −3. −5=−3+b; ikkala tomonga 3 qo‘shilsa −2=b. Tekshiruv: −3+(−2)=−5. Qarama-qarshi tomonga o‘tkazish iborasi ishlatilsa ham ayni teng kuchli amal ko‘rsatilgan bo‘lishi kerak.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
(3/2)·(−2)
-3
b
-2
Topilgan b bilan o‘ng tomon
-5
OpenStax Elementary Algebra 2e, §2.1, tenglikning ikki tomoniga bir xil amal qo‘llash tayanchi (HTML). Original topshiriq.
P(−2; 4) va Q(4; 1) orqali o‘tuvchi chiziqda P dan Q ga Δx, Δy va m ni toping. Q dan P ga qaytishda ikkala ayirma qanday bo‘ladi? Nega bir xil qiyalik chiqishi kerak? Hozir to‘liq tenglama tuzish talab qilinmaydi.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
P→Q: Δx
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
P→Q: Δy
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
P→Q: m
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Q→P: Δx
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Q→P: Δy
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Q→P: m
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Ayirmalar va qiyalik nega o‘zgarmasligi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
H1 — yordamni ochish
Har ikki ayirmada nuqtalar tartibi bir xilmi?
H2 — yordamni ochish
Oxirgi koordinatadan boshlang‘ich koordinatani ayiring; m=Δy/Δx. Qaytishda ikkala tartibni almashtiring.
H3 — yordamni ochish
P→Q: Δx=4−(−2)=6, Δy=1−4=−3. Q→P da ikkalasining ishorasi almashadi.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
P→Q: Δx=4−(−2)=6, Δy=1−4=−3, m=−3/6=−1/2. Q→P: Δx=−2−4=−6, Δy=4−1=3; m=3/(−6)=−1/2. Ikkala ayirma ishorasi birga almashgani sabab nisbat o‘zgarmaydi.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
P→Q: Δx
6
P→Q: Δy
-3
P→Q: m
-1/2
Q→P: Δx
-6
Q→P: Δy
3
Q→P: m
-1/2
OpenStax Elementary Algebra 2e, §4.4 (HTML); EjIP4sI PDF bosma 468–496-betlari F2 auditida qayd etilgan. Original topshiriq.
Chiziq P(2; −1) orqali o‘tadi, qiyaligi m=3/2. Uning tenglamasini y=mx+b shaklida tuzing. b ni va y o‘qi bilan kesishish nuqtasini ayting. x=4 ga mos y ni hisoblang; hosil bo‘lgan nuqta bilan P orasidagi qiyalikni tekshiring. Nega berilgan −1 soni avtomatik ravishda b bo‘la olmaydi?
N1 — berilgan nuqta
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; −1), berilgan qiyalik 3/2. Chiziqni Siz tuzasiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −6 dan 4 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Shartning matnli muqobili
P(2; −1) berilgan, m=3/2. Boshlanishida faqat P va koordinata o‘qlari ko‘rsatiladi.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Chiziq tenglamasi, y=mx+b shaklida
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
So‘ralgan shakl: y=mx+b.
b
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
x=4 dagi y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
P va hosil bo‘lgan nuqta orasidagi qiyalik
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Qiyalik tekshiruvi va nega −1 avtomatik b emasligi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
H1 — yordamni ochish
Nuqta sharti va qiyalik sharti qanday ikki vazifa bajaradi?
H2 — yordamni ochish
Pning x va y qiymatlarini y=mx+b ga qo‘ying; noma’lum b ni ajrating.
H3 — yordamni ochish
−1=(3/2)·2+b=3+b, shuning uchun b=−4. Tekshiruvlarni ham alohida bajaring.
N1 — besh qadamli namunani o‘qish
Bu o‘rgatuvchi namuna. Savolni avval daftaringizda sinab, keyin har qadam izohini solishtirishingiz mumkin. Bu yerda ilk urinish qayd etilmaydi.
1-qadam
Berilgan x₁, y₁ va m ni ajrating. y=mx+b da nima noma’lum?
Qadam izohi va chizmasini ochish
Berilganini ajratamiz. x₁=2, y₁=−1, m=3/2. y=(3/2)x+b da noma’lum faqat b. Nuqta sharti shu noma’lumni aniqlaydi.
N1 — 1-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; −1), berilgan qiyalik 3/2. Chiziqni Siz tuzasiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −6 dan 4 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(2; −1), m=3/2.
2-qadam
P koordinatalarini tenglamaga qo‘ysangiz qanday tenglik hosil bo‘ladi?
Qadam izohi va chizmasini ochish
Nuqtani qo‘yamiz. −1=(3/2)·2+b=3+b. Chapdagi −1 Pning y qiymati; uni x o‘rniga qo‘yish mumkin emas.
N1 — 2-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; −1), berilgan qiyalik 3/2. Chiziqni Siz tuzasiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −6 dan 4 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(2; −1), m=3/2. Nuqta sharti: −1=3+b.
3-qadam
b ni ajratish uchun ikkala tomonga qanday amal kerak? Kesishish nuqtasi qanday?
Qadam izohi va chizmasini ochish
b ni ajratamiz. Ikkala tomondan 3 ayiramiz: b=−4. Bu y o‘qida (0; −4) nuqtani beradi; Pdagi −1 bilan bir xil bo‘lishi shart emas.
N1 — 3-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; −1), berilgan qiyalik 3/2. Chiziqni Siz tuzasiz. b=−4. y o‘qidagi B(0; −4) ochildi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −6 dan 4 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(2; −1), m=3/2. Nuqta sharti: −1=3+b. b=−4.
Tenglama va boshqa nuqta. y=(3/2)x−4. x=4 da y=2; Q(4; 2). Grafikda P va Q ko‘rinadi; tekshiruv siljishlari keyingi qadamda ochiladi.
N1 — 4-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; −1), berilgan qiyalik 3/2. Chiziqni Siz tuzasiz. b=−4. y o‘qidagi B(0; −4) ochildi. To‘liq chiziq y=(3/2)x−4; Q(4; 2) ochildi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −6 dan 4 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(2; −1), m=3/2. Nuqta sharti: −1=3+b. b=−4. y=(3/2)x−4; Q(4; 2).
5-qadam
P nuqta sharti va P→Q qiyalik shartini alohida tekshiring.
Qadam izohi va chizmasini ochish
Ikki shartni tekshiramiz. Pdan Qga 2 birlik o‘ngga, 3 birlik yuqoriga siljish ochiladi. Pda 3−4=−1; PQ qiyaligi 3/2. Nuqta ham, qiyalik ham mos. Faqat bir tekshiruv ikkinchisining o‘rnini bosmaydi.
N1 — 5-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; −1), berilgan qiyalik 3/2. Chiziqni Siz tuzasiz. b=−4. y o‘qidagi B(0; −4) ochildi. To‘liq chiziq y=(3/2)x−4; Q(4; 2) ochildi. P→Q: Δx=2, Δy=3; m=3/2. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −6 dan 4 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(2; −1), m=3/2. Nuqta sharti: −1=3+b. b=−4. y=(3/2)x−4; Q(4; 2). P→Q: Δx=2, Δy=3; m=3/2.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
−1=(3/2)·2+b=3+b, shuning uchun b=−4. y=(3/2)x−4; teng kuchli nuqta–qiyalik shakli y+1=(3/2)(x−2). y o‘qi bilan kesishish (0; −4). x=4 da y=2, Q(4; 2).
P tekshiruvi: 3−4=−1. PQ qiyaligi (2−(−1))/(4−2)=3/2. Pning x qiymati 0 emas; −1 faqat x=2 dagi y, b esa x=0 dagi y. Bu to‘liq o‘rgatuvchi namuna, mustaqil o‘zlashtirish dalili emas.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Chiziq tenglamasi, y=mx+b shaklida
y=(3/2)x-4
b
-4
y o‘qi bilan kesishish: x
0
y o‘qi bilan kesishish: y
-4
x=4 dagi y
2
P va hosil bo‘lgan nuqta orasidagi qiyalik
3/2
N1 — 5-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; −1), berilgan qiyalik 3/2. Chiziqni Siz tuzasiz. b=−4. y o‘qidagi B(0; −4) ochildi. To‘liq chiziq y=(3/2)x−4; Q(4; 2) ochildi. P→Q: Δx=2, Δy=3; m=3/2. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −6 dan 4 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(2; −1), m=3/2. Nuqta sharti: −1=3+b. b=−4. y=(3/2)x−4; Q(4; 2). P→Q: Δx=2, Δy=3; m=3/2.
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–528-betlar. Original yo‘naltirilgan namuna.
Chiziq P(−3; 1) orqali o‘tadi, qiyaligi m=−2/3. Uning tenglamasini y=mx+b shaklida tuzing. b ni va y o‘qi bilan kesishish nuqtasini ayting. x=0 dagi nuqta bilan P orasidagi qiyalikni tekshiring. Hosil bo‘lgan tenglamaga P koordinatalarini qo‘yib tekshirishni ham ko‘rsating.
N2 — berilgan nuqta
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−3; 1), berilgan qiyalik −2/3. Chiziqni Siz tuzasiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 3 gacha; y −4 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Shartning matnli muqobili
P(−3; 1), m=−2/3. Dastlab faqat berilgan P va o‘qlar ko‘rsatiladi.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Chiziq tenglamasi, y=mx+b shaklida
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
So‘ralgan shakl: y=mx+b.
b
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
P→Q: qiyalik
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Pning x qiymati qo‘yilganda o‘ng tomon
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Tenglamaga Pni qo‘yish va qiyalik tekshiruvi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
H1 — yordamni ochish
Nuqta koordinatalari tenglamaning qaysi joylariga qo‘yiladi?
H2 — yordamni ochish
x₁=−3 ni qavsda saqlab, x₁ va y₁ni y=mx+b ga qo‘ying.
H3 — yordamni ochish
1=(−2/3)·(−3)+b=2+b, b=−1. Q va chiziq 4-qadamda, siljishlar 5-qadamda ochiladi.
N2 — besh qadamli namunani o‘qish
Bu o‘rgatuvchi namuna. Savolni avval daftaringizda sinab, keyin har qadam izohini solishtirishingiz mumkin. Bu yerda ilk urinish qayd etilmaydi.
1-qadam
y=(... )x+b — berilgan qiyalikni kiriting.
Qadam izohi va chizmasini ochish
Berilgan qiyalik −2/3. y=−(2/3)x+b; b hali noma’lum.
N2 — 1-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−3; 1), berilgan qiyalik −2/3. Chiziqni Siz tuzasiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 3 gacha; y −4 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−3; 1), m=−2/3.
2-qadam
1=(−2/3)·(...)+b — Pning x koordinatasini qavs bilan kiriting.
Qadam izohi va chizmasini ochish
Pning x koordinatasi −3: 1=(−2/3)·(−3)+b.
N2 — 2-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−3; 1), berilgan qiyalik −2/3. Chiziqni Siz tuzasiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 3 gacha; y −4 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−3; 1), m=−2/3. Nuqta sharti: 1=(−2/3)·(−3)+b.
3-qadam
Ko‘paytmani hisoblab, b ni ajrating. Qaysi amalni ikki tomonga qo‘llaganingizni ayting.
Qadam izohi va chizmasini ochish
Ko‘paytma 2: 1=2+b. Ikkala tomondan 2 ayiramiz; b=−1.
N2 — 3-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−3; 1), berilgan qiyalik −2/3. Chiziqni Siz tuzasiz. b=−1. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 3 gacha; y −4 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−3; 1), m=−2/3. Nuqta sharti: 1=(−2/3)·(−3)+b. Ko‘paytma 2; 1=2+b. b=−1.
4-qadam
To‘liq tenglama va x=0 dagi Q nuqtani yozing.
Qadam izohi va chizmasini ochish
y=−(2/3)x−1. x=0 da y=−1, demak Q(0; −1). Endi Q va chiziq ochiladi.
N2 — 4-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−3; 1), berilgan qiyalik −2/3. Chiziqni Siz tuzasiz. b=−1. To‘liq chiziq y=−(2/3)x−1; Q(0; −1) ochildi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 3 gacha; y −4 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−3; 1), m=−2/3. Nuqta sharti: 1=(−2/3)·(−3)+b. Ko‘paytma 2; 1=2+b. b=−1. y=−(2/3)x−1; Q(0; −1).
5-qadam
Pni tenglamaga qo‘yib, keyin P→Q uchun Δy/Δx ni tekshiring.
Qadam izohi va chizmasini ochish
Pda (−2/3)·(−3)−1=1. P→Q: Δx=0−(−3)=3, Δy=−1−1=−2; m=−2/3. Ikkala shart ham mos.
N2 — 5-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−3; 1), berilgan qiyalik −2/3. Chiziqni Siz tuzasiz. b=−1. To‘liq chiziq y=−(2/3)x−1; Q(0; −1) ochildi. P→Q: Δx=3, Δy=−2; m=−2/3. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 3 gacha; y −4 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−3; 1), m=−2/3. Nuqta sharti: 1=(−2/3)·(−3)+b. Ko‘paytma 2; 1=2+b. b=−1. y=−(2/3)x−1; Q(0; −1). P→Q: Δx=3, Δy=−2; m=−2/3.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
1=(−2/3)·(−3)+b=2+b, b=−1. y=−(2/3)x−1, yoki y−1=−(2/3)(x+3). y o‘qi bilan kesishish Q(0; −1).
PQ qiyaligi (−1−1)/(0−(−3))=−2/3. P tekshiruvi: (−2/3)·(−3)−1=2−1=1. Yordam ochilgan bosqichlar alohida qayd qilinadi.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Chiziq tenglamasi, y=mx+b shaklida
y=-(2/3)x-1
b
-1
y o‘qi bilan kesishish: x
0
y o‘qi bilan kesishish: y
-1
P→Q: qiyalik
-2/3
Pning x qiymati qo‘yilganda o‘ng tomon
1
N2 — 5-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−3; 1), berilgan qiyalik −2/3. Chiziqni Siz tuzasiz. b=−1. To‘liq chiziq y=−(2/3)x−1; Q(0; −1) ochildi. P→Q: Δx=3, Δy=−2; m=−2/3. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 3 gacha; y −4 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−3; 1), m=−2/3. Nuqta sharti: 1=(−2/3)·(−3)+b. Ko‘paytma 2; 1=2+b. b=−1. y=−(2/3)x−1; Q(0; −1). P→Q: Δx=3, Δy=−2; m=−2/3.
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–528-betlar. Original hisob bo‘shliqli namuna.
Chiziq P(−4; −2) orqali o‘tadi, qiyaligi m=5/4. Chiziq tenglamasini tuzing. Uning y o‘qi bilan kesishish nuqtasini yozing. Javobingiz nuqta sharti va qiyalik shartining ikkalasini ham bajarishini tekshiring.
N3 — berilgan nuqta
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−4; −2), berilgan qiyalik 5/4. Chiziqni Siz tuzasiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 2 gacha; y −5 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Shartning matnli muqobili
Berilgan P(−4; −2), m=5/4. Boshlang‘ich tasvirda faqat berilgan nuqta va o‘qlar mavjud.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Chiziq tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Nuqta shartini tekshirish
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Qiyalik shartini tekshirish
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
H1 — yordamni ochish
Topgan tenglamangiz berilgan nuqta va qiyalikning ikkalasiga mosmi?
H2 — yordamni ochish
Berilgan koordinatalarni y=mx+b ga qo‘ying yoki nuqta–qiyalik yozuvidan boshlang.
H3 — yordamni ochish
−2=(5/4)·(−4)+b=−5+b; ikkala tomonga 5 qo‘shib b=3. Yordam ochilgani alohida qayd etiladi.
N3 — besh qadamli namunani o‘qish
Bu o‘rgatuvchi namuna. Savolni avval daftaringizda sinab, keyin har qadam izohini solishtirishingiz mumkin. Bu yerda ilk urinish qayd etilmaydi.
1-qadam
Berilgan sonlar va tanlagan usulingizdagi noma’lumni ajrating.
Qadam izohi va chizmasini ochish
x₁=−4, y₁=−2, m=5/4; b noma’lum.
N3 — 1-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−4; −2), berilgan qiyalik 5/4. Chiziqni Siz tuzasiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 2 gacha; y −5 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−4; −2), m=5/4.
2-qadam
Nuqta shartini tenglamada yozing.
Qadam izohi va chizmasini ochish
−2=(5/4)·(−4)+b=−5+b.
N3 — 2-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−4; −2), berilgan qiyalik 5/4. Chiziqni Siz tuzasiz. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 2 gacha; y −5 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−4; −2), m=5/4. Nuqta sharti: −2=−5+b.
3-qadam
Noma’lumni qanday teng kuchli amal bilan ajratasiz?
Qadam izohi va chizmasini ochish
Ikkala tomonga 5 qo‘shib b=3.
N3 — 3-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−4; −2), berilgan qiyalik 5/4. Chiziqni Siz tuzasiz. b=3. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 2 gacha; y −5 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−4; −2), m=5/4. Nuqta sharti: −2=−5+b. b=3.
4-qadam
To‘liq tenglama va y o‘qi bilan kesishishni yozing.
Qadam izohi va chizmasini ochish
y=(5/4)x+3, kesishish (0; 3).
N3 — 4-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−4; −2), berilgan qiyalik 5/4. Chiziqni Siz tuzasiz. b=3. To‘liq chiziq y=(5/4)x+3; Q(0; 3) ochildi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 2 gacha; y −5 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−4; −2), m=5/4. Nuqta sharti: −2=−5+b. b=3. y=(5/4)x+3; Q(0; 3).
5-qadam
Ikkala shartni tekshiring. Yozuvingiz shu chiziqni ifodalaydimi?
Qadam izohi va chizmasini ochish
Pda −5+3=−2; Pdan (0; 3) ga m=5/4. Teng kuchli nuqta–qiyalik yoki standart shakl ham qabul; bir xil usulga majburlanmaydi.
N3 — 5-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−4; −2), berilgan qiyalik 5/4. Chiziqni Siz tuzasiz. b=3. To‘liq chiziq y=(5/4)x+3; Q(0; 3) ochildi. P→Q: Δx=4, Δy=5; m=5/4. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 2 gacha; y −5 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−4; −2), m=5/4. Nuqta sharti: −2=−5+b. b=3. y=(5/4)x+3; Q(0; 3). P→Q: Δx=4, Δy=5; m=5/4.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
−2=(5/4)·(−4)+b=−5+b, b=3. y=(5/4)x+3, yoki y+2=(5/4)(x+4). y kesishish (0; 3). P: −5+3=−2; P dan (0; 3) ga (3−(−2))/(0−(−4))=5/4.
Qiyalikni koeffitsiyentdan o‘qish ham matematik jihatdan to‘g‘ri tekshiruv; nuqtalar bilan tekshirish tasviriy dalilni kuchaytiradi, yagona ruxsat etilgan usul qilib qo‘yilmaydi.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Chiziq tenglamasi
y=(5/4)x+3
y o‘qi bilan kesishish: x
0
y o‘qi bilan kesishish: y
3
N3 — 5-qadam
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(−4; −2), berilgan qiyalik 5/4. Chiziqni Siz tuzasiz. b=3. To‘liq chiziq y=(5/4)x+3; Q(0; 3) ochildi. P→Q: Δx=4, Δy=5; m=5/4. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 2 gacha; y −5 dan 5 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Berilgan nuqta P(−4; −2), m=5/4. Nuqta sharti: −2=−5+b. b=3. y=(5/4)x+3; Q(0; 3). P→Q: Δx=4, Δy=5; m=5/4.
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–528-betlar. Original mustaqil namuna.
P(2; 5) orqali o‘tuvchi chiziqning qiyaligi −3. Tenglamani tuzing, b ni va x=3 dagi y ni toping. Berilgan P nuqtani tenglamaga qo‘yib tekshiring. «b=5, chunki nuqtaning y qiymati 5» degan fikrni hisob bilan baholang.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Chiziq tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
b
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
x=3 dagi y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Pning x qiymati qo‘yilganda o‘ng tomon
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
b=5 deb olinsa, x=2 dagi y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Nuqta tekshiruvi va b=5 fikrini hisob bilan baholash
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
H1 — yordamni ochish
Pning y qiymati qaysi x ga tegishli? b qaysi x ga tegishli?
H2 — yordamni ochish
5=−3·2+b ni yeching; so‘ng topilgan tenglamaga Pni va x=3 ni qo‘ying.
H3 — yordamni ochish
5=−6+b dan b=11. b=5 deb olingan tenglamada esa x=2 uchun −6+5=−1 chiqadi.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
5=−3·2+b, b=11, y=−3x+11. x=3 da y=2. P: −6+11=5. «b=5» javobi y=−3x+5 ni beradi; x=2 da y=−1 chiqib, Pga mos kelmaydi. b=11 bu chiziqning x=0 dagi y qiymati.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Chiziq tenglamasi
y=-3x+11
b
11
x=3 dagi y
2
Pning x qiymati qo‘yilganda o‘ng tomon
5
b=5 deb olinsa, x=2 dagi y
-1
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–528-betlar. Original topshiriq.
A(−3; 7) va B(5; −5) orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing. Qiyalik va b ni aniq kasrda yoki ularga teng aniq yozuvda ko‘rsating. Ikkala nuqtani yakuniy tenglamaga alohida qo‘yib tekshiring.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Qiyalik m
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
b
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Chiziq tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
A nuqta bilan tekshiruv
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
B nuqta bilan tekshiruv
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
H1 — yordamni ochish
Ikki nuqta qiyalikni qanday aniqlaydi?
H2 — yordamni ochish
Δy va Δx ni bir xil nuqta tartibida hisoblang. Topilgan m va nuqtalardan biri bilan b ni toping.
H3 — yordamni ochish
Δx=8, Δy=−12, m=−3/2. A orqali 7=9/2+b, shuning uchun b=5/2. Endi ikkala nuqtani alohida tekshiring.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
Δx=8, Δy=−12, m=−3/2. A orqali 7=(−3/2)(−3)+b=9/2+b, b=5/2. y=−(3/2)x+5/2; 3x+2y=5 ham teng kuchli. A: 9/2+5/2=7; B: −15/2+5/2=−5. Har ikkisi tekshiriladi.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Qiyalik m
-3/2
b
5/2
Chiziq tenglamasi
y=-(3/2)x+5/2
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 528–530-betlar. Original topshiriq.
G-M3 da gorizontal bitta to‘r oralig‘i 2 birlik, vertikal bitta to‘r oralig‘i 3 birlik. P va Q orqali bitta to‘g‘ri chiziq chizilgan. P va Q koordinatalarini o‘qing, qiyalikni koordinata birliklarida hisoblang va tenglamani tuzing. y o‘qi bilan kesishish nuqtasini belgilang. Faqat kataklar sonidan olingan nisbatni ishlatish nega bu yerda xavfli?
M3 — koordinatalarni o‘qing
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 2, y 3 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P x=−2, y=6; Q x=4, y=−3 to‘r chiziqlari kesishmasida. P va Q orqali bitta to‘g‘ri chiziq berilgan. To‘r kataklari kvadrat. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −4 dan 6 gacha; y −6 dan 9 gacha. To‘r qadami x 2, y 3 birlik.
Shartning matnli muqobili
P x=−2 va y=6 to‘r chiziqlari kesishmasida; Q x=4 va y=−3 to‘r chiziqlari kesishmasida. Chizmadagi kataklarning eni va bo‘yi teng, lekin o‘qlardagi birlik qadamlari yuqorida turlicha berilgan.
Grafik yoki matnli muqobildan foydalanishingiz mumkin. Muqobilni o‘qish yordam deb jazolanmaydi; bu sahifa tasvir manbasini ham qayd etmaydi.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
P: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
P: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
Q: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
Q: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
P→Q: Δx, koordinata birligida
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir, Amal.
P→Q: Δy, koordinata birligida
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir, Amal.
Qiyalik m
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal, Tasvir.
Chiziq tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal, Tasvir.
y o‘qi bilan kesishish: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
y o‘qi bilan kesishish: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
Katak nisbati va koordinata birliklari nisbatining farqi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos, Tasvir.
H1 — yordamni ochish
Har bir o‘qdagi qo‘shni belgilar orasida nechta birlik bor?
H2 — yordamni ochish
Koordinatalarni o‘qib, Δy/Δx ni birliklarda hisoblang; keyin nuqtadan b ni toping.
H3 — yordamni ochish
P(−2; 6), Q(4; −3): Δx=6, Δy=−9. Ekrandagi 3 katak va −3 katakni shu birliklar bilan aralashtirmang.
P→Q ekranda 3 katak o‘ngga va 3 katak pastga; katak nisbati −1, birlik nisbati −9/6. X va y katak birliklari turli ekanini aytish shart; «rasm xato» degan umumiy javob yetarli emas.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
P: x
-2
P: y
6
Q: x
4
Q: y
-3
P→Q: Δx, koordinata birligida
6
P→Q: Δy, koordinata birligida
-9
Qiyalik m
-3/2
Chiziq tenglamasi
y=-(3/2)x+3
y o‘qi bilan kesishish: x
0
y o‘qi bilan kesishish: y
3
M3 — koordinatalarni o‘qing
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 2, y 3 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P x=−2, y=6; Q x=4, y=−3 to‘r chiziqlari kesishmasida. P va Q orqali bitta to‘g‘ri chiziq berilgan. To‘r kataklari kvadrat. P(−2; 6), Q(4; −3). Δx=6, Δy=−9, m=−3/2; b=3. y=−(3/2)x+3. Kataklar nisbati −1, koordinata birliklari nisbati −9/6. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −4 dan 6 gacha; y −6 dan 9 gacha. To‘r qadami x 2, y 3 birlik.
Chiziq P(1; 5) dan o‘tishi va qiyaligi −2 bo‘lishi kerak. Quyidagi yozuvlarning qaysilari ayni talab qilingan chiziqni ifodalaydi?
a) y−5=−2(x−1); b) y=−2x+7; c) 2x+y=7; d) y=−2x+3.
Mos yozuvlarning teng kuchliligini algebra bilan ko‘rsating. Mos kelmaydigan yozuv bo‘lsa, u qaysi berilgan shartni bajarmasligini ayting. Faqat tashqi ko‘rinishiga qarab hukm chiqarish yetadimi?
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
a) Talab qilingan chiziqmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
b) Talab qilingan chiziqmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
c) Talab qilingan chiziqmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
d) Talab qilingan chiziqmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
Mos yozuvlarning algebraik teng kuchliligi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Mos kelmaydigan yozuv qaysi shartni bajarmaydi? Tekshiring
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Faqat tashqi ko‘rinishga qarab hukm chiqarish yetadimi?
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
H1 — yordamni ochish
Yozuvning ko‘rinishi bilan uning yechim nuqtalari bir xil tushunchami?
H2 — yordamni ochish
Har yozuvda y ni ajrating; keyin qiyalikni va x=1 dagi y ni tekshiring.
H3 — yordamni ochish
a ni ochsak y−5=−2x+2, demak y=−2x+7. d da x=1 bo‘lsa y=1; qiyalikning o‘zi yetmaydi.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
a, b, c mos. a: y−5=−2x+2 → y=−2x+7; c dan ham y=−2x+7. Bu yozuvlarning m=−2, x=1 da y=5. d da m=−2, lekin x=1 da y=1; nuqta shartini bajarmaydi.
Bir xil qiyalikning o‘zi bir xil chiziq degani emas. Algebraik teng kuchlilik va shartga tekshiruv — ikki alohida dalil.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
a) Talab qilingan chiziqmi?
Ha
b) Talab qilingan chiziqmi?
Ha
c) Talab qilingan chiziqmi?
Ha
d) Talab qilingan chiziqmi?
Yo‘q
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–530-betlar va teng kuchli algebra. Original topshiriq.
a) A(−5; 2) va B(4; 2) orqali o‘tuvchi chiziq tenglamasini tuzing.
b) C(−3; −2) va D(−3; 6) orqali o‘tuvchi chiziq tenglamasini tuzing.
Har biri uchun qanday koordinata o‘zgarmasligini, qiyalik qanday holatda ekanini va tenglama y=mx+b shaklida yoziladimi-yo‘qmi tushuntiring. «Bu shaklda yozilmaydi» bilan «tenglama mavjud emas» bir xil hukmmi?
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
a) Tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
a) Qaysi koordinata o‘zgarmas?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. x · 2. y
a) Qiyalik
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
a) Chekli m,b bilan y=mx+b shakli mumkinmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
b) Tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
b) Qaysi koordinata o‘zgarmas?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. x · 2. y
b) Qiyalik holati
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. Nol · 2. Aniqlanmagan · 3. Noldan farqli chekli son
b) Chekli m,b bilan y=mx+b shakli mumkinmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
Har ikki holatning sababi; shaklning yaroqsizligi va tenglama mavjudligini farqlang
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
H1 — yordamni ochish
Har juftlikda qaysi koordinata o‘zgarmas?
H2 — yordamni ochish
Avval o‘zgarmas koordinatani aniqlang; Δy va Δx ni tekshiring. Vertikal holatni y=mx+b ga zo‘rlamang.
H3 — yordamni ochish
a da y doim 2, Δy=0. b da x doim −3, Δx=0 va Δy=8. Nolga bo‘lish aniqlanmagan, lekin x=−3 tenglamasi mavjud.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
a) y doim 2; y=2, m=0; y=0x+2 shakli mumkin. b) x doim −3; x=−3; chekli qiyalik yo‘q, Δx=0 va Δy=8.
y=mx+b ning biror chekli m,b juftligi vertikal chiziqni ifodalamaydi: x=−3 da u faqat bitta y berardi, bu chiziqda esa ko‘p y bor. Vertikal chiziq va uning x=−3 tenglamasi mavjud; faqat tanlangan shakl yaroqsiz. «m=cheksizlik» aniq haqiqiy-sonli qiyalik javobi sifatida qabul qilinmaydi; o‘quvchiga «aniqlanmagan» bilan tushuntiriladi.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
a) Tenglama
y=2
a) Qaysi koordinata o‘zgarmas?
y
a) Qiyalik
0
a) Chekli m,b bilan y=mx+b shakli mumkinmi?
Ha
b) Tenglama
x=-3
b) Qaysi koordinata o‘zgarmas?
x
b) Qiyalik holati
Aniqlanmagan
b) Chekli m,b bilan y=mx+b shakli mumkinmi?
Yo‘q
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 528 va 530-betlar. Vertikalga y=mx+b talabi qo‘yilmagan. Original topshiriq.
Jadval nuqtalari bitta to‘g‘ri chiziqda ekani berilgan.
x: −4; 0; 2; 6. Mos y: −5; 1; ?; 10.
Chiziq tenglamasini tuzing va bo‘sh katakni to‘ldiring. Uchta berilgan nuqtaning barchasi javobingizga mosligini tekshiring. x qadamlari har xil bo‘lsa ham y ayirmalarini o‘zicha taqqoslash nega yetarli emas?
M6 — berilgan jadval
x
−4
0
2
6
y
−5
1
?
10
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Chiziq tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
x=2 dagi bo‘sh katak
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Uchta berilgan nuqtaning har birini tekshiring
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Turli x qadamlarida y ayirmalarini o‘zicha taqqoslash nega yetmaydi?
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
H1 — yordamni ochish
Jadvaldagi x=0 nuqta qanday ma’lumot beradi?
H2 — yordamni ochish
Ikki ma’lum nuqtadan Δy/Δx ni oling; (0; 1) orqali b ni aniqlang. Barcha berilgan ustunlarni tekshiring.
H3 — yordamni ochish
(0; 1) sabab b=1. (−4; −5) dan (0; 1) ga m=6/4=3/2; y=(3/2)x+1.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
(0; 1) sabab b=1. Masalan (−4; −5) dan (0; 1) ga m=6/4=3/2. y=(3/2)x+1; x=2 da y=4. Uch tekshiruv: x=−4 →−5; 0→1; 6→10.
y ayirmalari x dagi mos o‘zgarishga bo‘linadi; turli x qadamida bir xil y ayirma talabi qo‘yilmaydi. Bo‘sh katakning o‘zi bilan dalil to‘liq emas.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Chiziq tenglamasi
y=(3/2)x+1
x=2 dagi bo‘sh katak
4
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 528–530-betlar va §4.4 qiyalik tayanchi. Jadval original.
Birinchi xato qadamni toping, sababini ayting, minimal to‘g‘ri tuzatishni yozing va berilgan shartlar bilan tekshiring.
P(3; 5), m=2/3 berilgan. O‘quvchi: «m ni bilaman, Pning ikkinchi koordinatasi 5. Demak y=(2/3)x+5», deb yozdi. Uning javobini tekshiring.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Birinchi xato qadam va uning sababi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
Noto‘g‘ri tenglamada x=3 dagi y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Minimal tuzatilgan tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Minimal tuzatish va ikkala shart bilan tekshiruv
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
H1 — yordamni ochish
b qaysi x dagi y qiymati?
H2 — yordamni ochish
Taklif qilingan tenglamaga Pni qo‘ying. Mos bo‘lmasa, P orqali b ni qayta aniqlang.
H3 — yordamni ochish
Noto‘g‘ri tenglamada x=3 uchun y=7. Asl nuqtadan 5=(2/3)·3+b, ya’ni b=3.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
Birinchi xato — y=5 ni x=0 dagi qiymat deb olish. Noto‘g‘ri tenglamada x=3 →7, Pga mos emas. 5=(2/3)·3+b, b=3; y=(2/3)x+3. P: 2+3=5, m=2/3. Minimal tuzatish — erkin hadni 5 dan 3 ga almashtirish.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Noto‘g‘ri tenglamada x=3 dagi y
7
Minimal tuzatilgan tenglama
y=(2/3)x+3
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–528-betlar. Original xato tahlili.
Birinchi xato qadamni toping, sababini ayting, minimal to‘g‘ri tuzatishni yozing va berilgan shartlar bilan tekshiring.
P(−2; 3), m=−4 berilgan. O‘quvchi nuqta–qiyalik yozuvini y−3=−4(x−2) deb tuzdi. Nuqta sharti qayerda noto‘g‘ri ko‘chirilgan?
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Birinchi xato, x−x₁ va minimal tuzatish
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
Tuzatilgan tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Eski yozuvga P qo‘yilganda chap tomon
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Eski yozuvga P qo‘yilganda o‘ng tomon
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Tuzatilgan javobning nuqta va qiyalik tekshiruvi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
H1 — yordamni ochish
x−x₁ yozuvida x₁ ning ishorasi saqlandimi?
H2 — yordamni ochish
x₁=−2 ni avval qavs ichida yozing: x−(−2). Eski va tuzatilgan yozuvlarda Pni sinang.
H3 — yordamni ochish
x−(−2)=x+2. To‘g‘ri yozuv y−3=−4(x+2), ya’ni y=−4x−5.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
x−x₁ ichida x₁=−2; x−(−2)=x+2. To‘g‘ri yozuv: y−3=−4(x+2) → y=−4x−5. P:8−5=3, m=−4. Eski yozuvga P qo‘yilganda chap tomon 0, o‘ng tomon 16; shart bajarilmagan.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Tuzatilgan tenglama
y=-4x-5
Eski yozuvga P qo‘yilganda chap tomon
0
Eski yozuvga P qo‘yilganda o‘ng tomon
16
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–528-betlar va teng kuchli algebra. Original xato tahlili.
Birinchi xato qadamni toping, sababini ayting, minimal to‘g‘ri tuzatishni yozing va berilgan shartlar bilan tekshiring.
O‘quvchining ishlashi:
y+1=−2(x−3)
y+1=−2x+6
y=−2x+7.
Birinchi noto‘g‘ri o‘tishni aniqlang. Tuzatilgan tenglama dastlabki ifodaga teng kuchli ekanini va (3; −1) nuqta shartini tekshiring.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Birinchi noto‘g‘ri o‘tish va sababi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Tuzatilgan tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Dastlabki ifodaga teng kuchliligini ko‘rsating
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
(3; −1) nuqta shartini tekshiring
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
H1 — yordamni ochish
Har bir o‘tishda ikki tomonga bir xil amal qo‘llanganmi?
H2 — yordamni ochish
y+1 dan y ga o‘tish uchun nima qilinadi? Xuddi shu amalni o‘ng tomonga qo‘llang.
H3 — yordamni ochish
Ikkinchi qatordan ikkala tomondan 1 ayiramiz: y=−2x+5. Qavs ochishdagi birinchi o‘tish to‘g‘ri.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
Birinchi ikki qator teng kuchli; xato 2→3 o‘tishda. Ikkala tomondan 1 ayirish kerak: y=−2x+5. (3; −1): −6+5=−1. Tenglamaga yana 1 qo‘shilsa y+1=−2x+6=−2(x−3) qaytadi. Qavs ochish bu misolda to‘g‘ri.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Tuzatilgan tenglama
y=-2x+5
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–528-betlar va §2.1 teng kuchli amallar. Original xato tahlili.
Birinchi xato qadamni toping, sababini ayting, minimal to‘g‘ri tuzatishni yozing va berilgan shartlar bilan tekshiring.
P(4; −3), Q(4; 2) berilgan. O‘quvchi m=5/0=0, keyin y=−3 deb yozdi. Qaysi tenglik birinchi xato? Ikkala nuqtaga mos to‘g‘ri tenglama yozing. «Vertikal chiziqning tenglamasi yo‘q» degan boshqa xulosani ham baholang.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Birinchi noto‘g‘ri tenglik va sababi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
Ikkala nuqtaga mos tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Qiyalik holati
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. Nol · 2. Aniqlanmagan · 3. Noldan farqli chekli son
P va Q bilan tekshiruv; «tenglamasi yo‘q» xulosasini baholang
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
5/0=0 noto‘g‘ri: nolga bo‘lish aniqlanmagan. Ikkala nuqtada x=4; bu ularning chizig‘i tenglamasi.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
5/0=0 — birinchi xato; nolga bo‘lish aniqlanmagan. Ikki nuqta turli, x bir xil; x=4. Bu tenglama P va Qni qanoatlantiradi; y=−3 esa Qni qanoatlantirmaydi. Tenglama mavjud, chekli m bilan y=mx+b shakli yo‘q.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Ikkala nuqtaga mos tenglama
x=4
Qiyalik holati
Aniqlanmagan
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 530-bet. Vertikalga umumiy y=mx+b talabi ko‘chirilmagan. Original xato tahlili.
Ikki alohida e’londa chiziq haqida shunday berilgan:
a) «Qiyaligi −2».
b) «P(2; 1) dan o‘tadi; yana P(2; 1) dan o‘tadi».
Har bir e’lon yagona chiziqni aniqlaydimi? Har biri uchun shartlarni bajaradigan ikki turli chiziq tenglamasini o‘zingiz tuzing. So‘ng aynan qanday qo‘shimcha ma’lumot yagona chiziqni tanlashga yetishini ayting. Ikkita yozuv borligi bilan ikkita mustaqil shart borligi bir xilmi?
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
a) Siz tuzgan birinchi tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
a) Siz tuzgan ikkinchi, boshqa chiziq tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
b) Siz tuzgan birinchi tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
b) Siz tuzgan ikkinchi, boshqa chiziq tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
Har e’lonning yetarliligi, har biriga yetadigan qo‘shimcha ma’lumot va mustaqil shartlar haqidagi asos
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish, Asos.
H1 — yordamni ochish
Ikki yozuv ikki mustaqil shartni bildiradimi?
H2 — yordamni ochish
Har e’lon uchun ikki turli geometrik chiziq ko‘rsata olasizmi? Tenglamani songa ko‘paytirish boshqa chiziq bermaydi.
H3 — yordamni ochish
a uchun y=−2x va y=−2x+1 misol bo‘ladi. b uchun y=1 va y=x−1 Pdan o‘tadi. Bular yagona javoblar emas; Sizning boshqa mos juftliklaringiz ham qabul qilinadi.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
a) Yagona emas. Masalan y=−2x va y=−2x+1: ikkisining m=−2, b turli. Chiziqdagi bitta aniq nuqta yoki b ni berish yetarli.
b) Yagona emas. Masalan y=1 va y=x−1 ikkalasi P(2;1) dan o‘tadi. Yoki x=2 bilan istalgan Pdan o‘tuvchi boshqa chiziq mumkin. Qo‘shimcha chekli qiyalik, «vertikal» sharti yoki Pdan farqli ikkinchi nuqta yetadi.
Bu misollar yagona kalit emas. Erkin javob mezoni: har ikki tenglama berilgan shartni bajarsin, aynan ikki turli geometrik chiziq bo‘lsin. Bir tenglamani 2 ga ko‘paytirish ikkinchi chiziq hisoblanmaydi. b bandda ikkinchi nuqta Pning o‘zi bo‘lmasin. Takroriy yozuv yangi mustaqil shart qo‘shmaydi. Birgina tayyor juftlikka tenglik bilan avtomatik tekshirish taqiqlanadi; qo‘llanadigan parser cheklovi ochiq aytiladi yoki inson ko‘rigi.
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–530-betlardagi chiziq shartlari. Yetarlilik va erkin javob mezoni original.
Bir chiziqning qiyaligi 3/2 bo‘lishi, P(2; 4), Q(6; 10) va R(8; 14) nuqtalar orqali o‘tishi talab qilingan. Hamma talabni bir vaqtda bajarish mumkinmi? Hisob bilan qaror qiling.
Tahrir qoidasi: m, P, Q va Rning x qiymati o‘zgartirilmaydi; faqat Rning y qiymatini o‘zgartirish mumkin. Agar zarur bo‘lsa, aynan qaysi qiymatga tuzatasiz? Bu matematik shartni muvofiqlashtirish vazifasi; haqiqiy o‘lchovlardan qaysi biri xato ekanini aniqlash deb talqin qilmang.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Barcha dastlabki talabni birdan bajarish mumkinmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
m va Pdan aniqlangan tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal, Ko‘chirish.
Qning x qiymatida tenglama beradigan y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Rning tuzatilgan y qiymati
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
Barcha shartlar bo‘yicha hisob, tahrir chegarasi va xulosa
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish, Asos.
H1 — yordamni ochish
Talablarning hammasi bir chiziqqa mos keladimi?
H2 — yordamni ochish
Avval m va P bilan chiziqni aniqlang; keyin Q va Rni alohida tekshiring. Faqat Rning y qiymati tahrirlanadi.
H3 — yordamni ochish
m va Pdan b=1, y=(3/2)x+1. Qda 10 chiqadi; Rning x=8 qiymatida 13 chiqadi, 14 emas.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
m va Pdan b=4−3=1; y=(3/2)x+1. Qda 9+1=10, mos. Rda 12+1=13, 14 emas; barcha dastlabki talabni birdan bajaruvchi chiziq yo‘q.
Rning faqat y sini o‘zgartirish ruxsat etilgan: R(8;13). Qolgan shart bilan yechim yagona. «R o‘lchovi albatta buzilgan» degan real xulosa qilinmaydi: bu masalada faqat shartni tahrirlash vakolati berilgan.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Barcha dastlabki talabni birdan bajarish mumkinmi?
Yo‘q
m va Pdan aniqlangan tenglama
y=(3/2)x+1
Qning x qiymatida tenglama beradigan y
10
Rning tuzatilgan y qiymati
13
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–530-betlardagi chiziq shartlari. Zid shart va tahrir vaziyati original.
Qurilma ishga tushgach x minut o‘tdi; y ko‘rsatkichi shartli birlikda o‘lchanadi. Kuzatuvlar aniq: (1; 7) va (4; 16). Tadqiqotchi shu ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni 0≤x≤5 oralig‘i uchun sinab ko‘rmoqchi. Jarayon chiziqli ekani hali isbotlanmagan.
Taklif qilinadigan tenglamani tuzing va x=3 uchun model bashoratini yozing. Keyin yangi aniq kuzatuv (3; 14) olinganini hisobga oling: taklif qilingan model barcha uch kuzatuvga mosmi? Modelning x=10 dagi sonli qiymatini hisoblash mumkinligi bu vaqtdagi haqiqiy ko‘rsatkich ham shu bo‘lishini anglatadimi? Moslik va qo‘llash oralig‘ini alohida baholang.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Ikki kuzatuvdan taklif qilinadigan tenglama
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal, Ko‘chirish.
x=3 uchun model bashorati
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Model barcha uch aniq kuzatuvga mosmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
x=10 dagi formulaviy qiymat
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Moslik bo‘yicha asos va chiqarish mumkin bo‘lmagan xulosalar
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish, Asos.
Qo‘llash oralig‘i va x=10 dagi haqiqiy ko‘rsatkich haqida xulosa
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish, Asos.
H1 — yordamni ochish
Ikki nuqtadan chiziq qurish jarayonning chiziqliligini isbotlaydimi?
H2 — yordamni ochish
Avval tenglamani tuzing; yangi kuzatuvga moslik va 0≤x≤5 oralig‘ini alohida tekshiring.
H3 — yordamni ochish
m=3, b=4, y=3x+4. x=3 uchun 13, yangi kuzatuv esa 14. x=10 dagi 34 — formula qiymati, haqiqiy o‘lchov tasdig‘i emas.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
m=(16−7)/(4−1)=3; 7=3·1+b dan b=4, model y=3x+4. x=3 uchun bashorat 13; yangi kuzatuv 14 bilan teng emas. Berilgan aniq uch kuzatuvga bu chiziq mos emas. Bu hech qanday model mumkin emas yoki qurilma buzilgan degani emas.
x=10 da formulaviy qiymat 34 hisoblanadi, ammo bu sinash uchun aytilgan 0≤x≤5 oraliqdan tashqarida; ustiga-ustak model ichki yangi kuzatuvga ham mos kelmadi. Shuning uchun 34 ni haqiqiy ko‘rsatkich sifatida tasdiqlash mumkin emas. Moslik va soha — alohida sabab.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Ikki kuzatuvdan taklif qilinadigan tenglama
y=3x+4
x=3 uchun model bashorati
13
Model barcha uch aniq kuzatuvga mosmi?
Yo‘q
x=10 dagi formulaviy qiymat
34
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 528–530-betlar. O‘ylab topilgan jarayon va model chegarasi original; real o‘lchov bazasi emas.
Gorizontal o‘qda vaqt x sekundda, vertikal o‘qda uzunlik y santimetrda. 0≤x≤6 oralig‘ida bog‘lanish chiziqli ekani berilgan; P(2; 14) va Q(5; 26) shu chiziqda. Avval y ning x ga bog‘lanish tenglamasini tuzing.
Endi ayni bog‘lanishni t minut va h metr bilan yozing: x=60t, y=100h. h ning t ga bog‘lanish tenglamasini va yangi vaqt oralig‘ini toping. x=5 sekunddagi nuqtani ikkala birlik tizimida tekshiring. «Faqat m ni almashtirib, b ni avvalgidek qoldirsa bo‘ladi» degan fikrni baholang.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
y ning x ga bog‘lanish tenglamasi (sm va s)
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal, Ko‘chirish.
h ning t ga bog‘lanish tenglamasi (m va min)
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
O‘zgaruvchilar: t, h.
Yangi vaqt oralig‘ining quyi chegarasi, min
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
Yangi vaqt oralig‘ining yuqori chegarasi, min
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
x=5 s da y, sm
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Ayni nuqtaning t qiymati, min
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
Ayni nuqtaning h qiymati, m
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Ko‘chirish.
Nuqtani ikkala birlik tizimida tenglamalarga qo‘yib tekshiring
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos, Ko‘chirish.
b ni avvalgidek qoldirish fikrini birliklar bilan baholang
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Ko‘chirish.
H1 — yordamni ochish
Birlik o‘zgarsa, x=0 dagi uzunlikning sonli yozuvi ham o‘zgaradimi?
H2 — yordamni ochish
Avval y=mx+b ni toping; keyin butun tenglamada x=60t va y=100h ni almashtiring. Oraliq chegaralarini ham o‘tkazing.
H3 — yordamni ochish
y=4x+6 dan 100h=240t+6, demak h=(12/5)t+3/50. 6 s=1/10 min; x=5 s uchun t=1/12 min.
t ning sohasi 0≤t≤1/10 minut. Yangi qiyalik 2,4 m/min, erkin had 0,06 m. x=5 s → y=26 sm. Shu nuqta t=1/12 min, h=13/50 m: (12/5)(1/12)+3/50=1/5+3/50=13/50=0,26.
Birlik bilan birga b ham o‘zgardi; 0,06 m va 6 sm bitta uzunlikni ifodalaydi. Vaqtning boshlanish nuqtasi ko‘chirilmagan, faqat birlik almashtirilgan. Bu kengaytirilgan transfer; kasr/birlik tayanchi kuchsiz o‘quvchiga majburiy asosiy kirish to‘sig‘i bo‘lmaydi, yordamli natija shunday belgilab saqlanadi.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
y ning x ga bog‘lanish tenglamasi (sm va s)
y=4x+6
h ning t ga bog‘lanish tenglamasi (m va min)
h=(12/5)t+3/50
Yangi vaqt oralig‘ining quyi chegarasi, min
0
Yangi vaqt oralig‘ining yuqori chegarasi, min
1/10
x=5 s da y, sm
26
Ayni nuqtaning t qiymati, min
1/12
Ayni nuqtaning h qiymati, m
13/50
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 528–530-betlar. Birlik konversiyasi va chiziqli vaziyat original; 1 min=60 s, 1 m=100 sm.
Chiziq P(−2; 5) orqali o‘tadi, qiyaligi −3/2. Tenglamani tuzing, b ni va y o‘qi bilan kesishish nuqtasini yozing. x=4 dagi y ni toping. Nuqta va qiyalik shartlarini ikkalasini tekshiring. b ning ma’nosini bir jumlada izohlang.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Chiziq tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
b
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
x=4 dagi y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Nuqta shartini tekshirish
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Qiyalik shartini tekshirish
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
b ning ma’nosini bir jumlada izohlang
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
H1 — yordamni ochish
Javobingiz nuqta va qiyalikning ikkalasiga mosmi?
H2 — yordamni ochish
Berilgan nuqtani y=mx+b ga qo‘yib b ni toping; nuqta va qiyalikni alohida tekshiring.
H3 — yordamni ochish
5=(−3/2)(−2)+b=3+b dan b=2. Endi y=−(3/2)x+2 ni berilgan nuqta va boshqa x bilan tekshiring.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
5=(−3/2)(−2)+b=3+b →b=2. y=−(3/2)x+2; y kesishish (0; 2); x=4→−4. P tekshiruvi: 3+2=5, m=−3/2. Pdan (0; 2) ga (2−5)/(0−(−2))=−3/2 ham tekshiradi. b — x=0 dagi y.
Amal dalili: b, tenglama va x=4 hisobi. Ma’no: b izohi. Asos: nuqta va qiyalik shartining ikkalasi. Ular bir ballga qo‘shib yuborilmaydi.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Chiziq tenglamasi
y=-(3/2)x+2
b
2
y o‘qi bilan kesishish: x
0
y o‘qi bilan kesishish: y
2
x=4 dagi y
-4
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–528-betlar. Original formativ topshiriq; sertifikat bali emas.
a) G-F2 grafigida gorizontal qadam 2 birlik, vertikal qadam 1 birlik. U va V orqali bitta to‘g‘ri chiziq o‘tgan. U va V koordinatalarini o‘qing, tenglamani tuzing. W(6; 13) shu chiziqda yotadimi? Tekshiring.
b) Alohida chiziq A(3; −2) va B(3; 7) dan o‘tadi. Tenglamasini yozing; uning qiyaligi va y=mx+b shakli haqida nima ayta olasiz?
F2 — koordinatalarni o‘qing
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 2, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
U x=−4, y=−1; V x=2, y=8 to‘r chiziqlari kesishmasida. U va V orqali bitta to‘g‘ri chiziq berilgan. To‘r kataklari kvadrat. W(6; 13) savol matnida berilgan; W asosiy oyna tashqarisida. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 4 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 2, y 1 birlik.
Shartning matnli muqobili
U x=−4, y=−1 belgilari kesishmasida; V x=2, y=8 belgilari kesishmasida. Ekrandagi to‘r kataklari kvadrat, birlik qadamlari yuqorida.
Grafik yoki matnli muqobildan foydalanishingiz mumkin. Muqobilni o‘qish yordam deb jazolanmaydi; bu sahifa tasvir manbasini ham qayd etmaydi.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
a) U: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
a) U: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
a) V: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
a) V: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
a) U→V: Δx, koordinata birligida
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir, Amal.
a) U→V: Δy, koordinata birligida
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir, Amal.
a) U va V chizig‘ining tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal, Tasvir.
a) Wning x qiymatida tenglama beradigan y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
a) W shu chiziqda yotadimi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
a) Koordinata birliklari, U/V mosligi va W tekshiruvi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Tasvir, Asos.
b) A va B chizig‘ining tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
b) Qiyalik holati
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. Nol · 2. Aniqlanmagan · 3. Noldan farqli chekli son
b) Chekli m,b bilan y=mx+b shakli mumkinmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
b) Qiyalik, shakl va tenglama mavjudligi haqidagi asos
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
H1 — yordamni ochish
a) Birlik qadamlari qanday? b) Qaysi koordinata o‘zgarmas?
H2 — yordamni ochish
a) Koordinatalardan qiyalik va tenglamani tuzing; Wni tenglamaga qo‘ying. b) O‘zgarmas koordinata orqali tenglama yozing, y=mx+b ni zo‘rlamang.
H3 — yordamni ochish
a) U(−4;−1), V(2;8) uchun Δx=6, Δy=9, m=3/2 va b=5. Wning x=6 qiymatida y=14. b) Ikkala nuqtada x=3.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
a) U(−4;−1), V(2;8); Δx=6, Δy=9, m=3/2. b=5, y=(3/2)x+5. Uda −6+5=−1; Vda 3+5=8. Wda 9+5=14≠13, W chiziqda emas. Tasvir dalili: koordinatalar va birlik ayirmalari.
b) x doim 3; x=3; chekli qiyalik aniqlanmagan, y=mx+b shakli yaroqsiz. Birgina «W yo‘q» yoki «qiyalik yo‘q» noaniq hukmi to‘liq dalil emas.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
a) U: x
-4
a) U: y
-1
a) V: x
2
a) V: y
8
a) U→V: Δx, koordinata birligida
6
a) U→V: Δy, koordinata birligida
9
a) U va V chizig‘ining tenglamasi
y=(3/2)x+5
a) Wning x qiymatida tenglama beradigan y
14
a) W shu chiziqda yotadimi?
Yo‘q
b) A va B chizig‘ining tenglamasi
x=3
b) Qiyalik holati
Aniqlanmagan
b) Chekli m,b bilan y=mx+b shakli mumkinmi?
Yo‘q
F2 — koordinatalarni o‘qing
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 2, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
U x=−4, y=−1; V x=2, y=8 to‘r chiziqlari kesishmasida. U va V orqali bitta to‘g‘ri chiziq berilgan. To‘r kataklari kvadrat. W(6; 13) savol matnida berilgan; W asosiy oyna tashqarisida. U(−4; −1), V(2; 8). Δx=6, Δy=9; m=3/2, b=5. y=(3/2)x+5. x=6 da chiziq y=14 ni beradi, Wning y qiymati esa 13: W chiziqda emas. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −6 dan 4 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 2, y 1 birlik.
U(−4; −1), V(2; 8). Δx=6, Δy=9; m=3/2, b=5. y=(3/2)x+5. x=6 da chiziq y=14 ni beradi, Wning y qiymati esa 13: W chiziqda emas.
Wni tenglama bilan tekshirish
x
Wdagi y
Chiziqdagi y
6
13
14
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 528–530-betlar va §4.4 tayanchi. Chizma, masshtab va shartlar original.
Chiziq P(4; −5) orqali o‘tadi, qiyaligi −3/4. Tenglamani tuzing, b ni va y o‘qi bilan kesishish nuqtasini yozing. x=−4 dagi y ni hisoblang. Ikki berilgan shartni tekshiring va b ning ma’nosini izohlang.
F1dan keyingi qayta tekshiruv. Bu o‘qish nusxasi oldingi urinishni almashtirmaydi va yangi urinishni qayd etmaydi.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
Chiziq tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
b
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
y o‘qi bilan kesishish: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
x=−4 dagi y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
Nuqta shartini tekshirish
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Qiyalik shartini tekshirish
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Asos.
b ning ma’nosi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
H1 — yordamni ochish
Berilgan nuqta va qiyalikni alohida tekshiryapsizmi?
H2 — yordamni ochish
Pni y=mx+b ga qo‘yib b ni toping. Keyin y o‘qi bilan kesishishni va x=−4 qiymatini hisoblang.
H3 — yordamni ochish
−5=(−3/4)·4+b=−3+b dan b=−2; y=−(3/4)x−2. Ikkala shartni ham tekshiring.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
−5=(−3/4)·4+b=−3+b →b=−2; y=−(3/4)x−2. y kesishish(0;−2). x=−4→1. P:−3−2=−5, m=−3/4. Pdan (0; −2) ga (−2−(−5))/(0−4)=−3/4. b x=0 dagi yni bildiradi.
Mezonlar F1 bilan teng tuzilishda; oldingi urinish tarixi o‘chirilmaydi.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
Chiziq tenglamasi
y=-(3/4)x-2
b
-2
y o‘qi bilan kesishish: x
0
y o‘qi bilan kesishish: y
-2
x=−4 dagi y
1
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 526–528-betlar. Original qayta tekshiruv; F1 urinishini almashtirmaydi.
a) G-R2 grafigida gorizontal qadam 2 birlik, vertikal qadam 1 birlik. U va V orqali to‘g‘ri chiziq o‘tgan. U va V koordinatalarini o‘qing va tenglamani tuzing. W(8; 0) shu chiziqda yotadimi? Tenglamaga qo‘yib tekshiring.
b) Alohida chiziq A(−5; 1) va B(−5; −4) dan o‘tadi. Tenglamasini yozing; qiyaligi va y=mx+b shakli haqida xulosa qiling.
F2dan keyingi qayta tekshiruv. Bu o‘qish nusxasi oldingi urinishni almashtirmaydi va yangi urinishni qayd etmaydi.
R2 — koordinatalarni o‘qing
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 2, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
U x=−2, y=5; V x=4, y=2 to‘r chiziqlari kesishmasida. U va V orqali bitta to‘g‘ri chiziq berilgan. To‘r kataklari kvadrat. W(8; 0) savol matnida berilgan; W asosiy oyna tashqarisida. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −4 dan 6 gacha; y −1 dan 7 gacha. To‘r qadami x 2, y 1 birlik.
Shartning matnli muqobili
U x=−2, y=5; V x=4, y=2 to‘r chiziqlari kesishmasida. Ekrandagi to‘r kataklari kvadrat, birlik qadamlari yuqorida.
Grafik yoki matnli muqobildan foydalanishingiz mumkin. Muqobilni o‘qish yordam deb jazolanmaydi; bu sahifa tasvir manbasini ham qayd etmaydi.
Javobda nimalarni ko‘rsatishingiz kerak?
a) U: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
a) U: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
a) V: x
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
a) V: y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir.
a) U→V: Δx, koordinata birligida
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir, Amal.
a) U→V: Δy, koordinata birligida
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Tasvir, Amal.
a) U va V chizig‘ining tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal, Tasvir.
a) Wning x qiymatida tenglama beradigan y
Javob turi: Son yoki kasr. Dalil yo‘nalishi: Amal.
a) W shu chiziqda yotadimi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Asos.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
a) Koordinata birliklari, U/V mosligi va W tekshiruvi
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Tasvir, Asos.
b) A va B chizig‘ining tenglamasi
Javob turi: Chiziq tenglamasi. Dalil yo‘nalishi: Amal.
b) Qiyalik holati
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. Nol · 2. Aniqlanmagan · 3. Noldan farqli chekli son
b) Chekli m,b bilan y=mx+b shakli mumkinmi?
Javob turi: Tanlov. Dalil yo‘nalishi: Ma’no.
Tanlovlar: 1. Ha · 2. Yo‘q
b) Qiyalik, shakl va tenglama mavjudligi haqidagi asos
Javob turi: Yozma asos. Dalil yo‘nalishi: Ma’no, Asos.
H1 — yordamni ochish
a) Har o‘qdagi birlikni o‘qing. b) Qaysi koordinata o‘zgarmas?
H2 — yordamni ochish
a) U/V koordinatalari orqali tenglama tuzing va Wni qo‘ying. b) O‘zgarmas koordinata tenglamasini yozing; nolga bo‘lishni 0 demang.
H3 — yordamni ochish
a) Δx=6, Δy=−3, m=−1/2, b=4. Wning x=8 qiymatida −4+4=0. b) Ikkala nuqtada x=−5.
Yechim va tekshiruvlarni ochish
a) U(−2; 5), V(4; 2); Δx=6, Δy=−3, m=−1/2; b=4. y=−(1/2)x+4. R2a da koordinatalarni o‘qish dalili ham qayta olinadi. U:1+4=5; V:−2+4=2. W:−4+4=0, chiziqda yotadi.
b) x=−5; qiyalik aniqlanmagan; chekli m,b bilan y=mx+b ko‘rinishi yo‘q. Mezonlar F2 bilan teng tuzilishda, W qarori endi «ha» bo‘lishi avvalgi «yo‘q»ni mexanik takrorlashni ushlaydi.
Qisqa javoblar
Quyidagi natijalarni yechimdagi asos va tekshiruvlar bilan birga o‘qing. Tenglamaning teng kuchli yozuvlari ham ayni chiziqni ifodalashi mumkin.
a) U: x
-2
a) U: y
5
a) V: x
4
a) V: y
2
a) U→V: Δx, koordinata birligida
6
a) U→V: Δy, koordinata birligida
-3
a) U va V chizig‘ining tenglamasi
y=-(1/2)x+4
a) Wning x qiymatida tenglama beradigan y
0
a) W shu chiziqda yotadimi?
Ha
b) A va B chizig‘ining tenglamasi
x=-5
b) Qiyalik holati
Aniqlanmagan
b) Chekli m,b bilan y=mx+b shakli mumkinmi?
Yo‘q
R2 — koordinatalarni o‘qing
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 2, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
U x=−2, y=5; V x=4, y=2 to‘r chiziqlari kesishmasida. U va V orqali bitta to‘g‘ri chiziq berilgan. To‘r kataklari kvadrat. W(8; 0) savol matnida berilgan; W asosiy oyna tashqarisida. U(−2; 5), V(4; 2). Δx=6, Δy=−3; m=−1/2, b=4. y=−(1/2)x+4. x=8 da y=0: W chiziqda yotadi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −4 dan 6 gacha; y −1 dan 7 gacha. To‘r qadami x 2, y 1 birlik.
U(−2; 5), V(4; 2). Δx=6, Δy=−3; m=−1/2, b=4. y=−(1/2)x+4. x=8 da y=0: W chiziqda yotadi.
Wni tenglama bilan tekshirish
x
Wdagi y
Chiziqdagi y
8
0
0
OpenStax Elementary Algebra 2e, EjIP4sI PDF, §4.6, bosma 528–530-betlar va §4.4 tayanchi. Original qayta tekshiruv; F2 urinishini almashtirmaydi.
Har holatda oldingi shart va chizma ko‘rsatilgan. Natijani ochishdan avval bashoratingizni daftarda yozing; keyin natija hamda izoh savoli bilan solishtiring. Bu yerda bashorat yoki tushuntirish saqlanmaydi.
L1 · Bir xil qiyalik, uch xil joylashuv
1-holat · Pdan qaysi chiziq o‘tadi?
A: y=x−2; B: y=x+1; C: y=x+4. Uchalasida x bir birlik oshsa, y bir birlik oshadi. P(2; 3) berilgan.
Ochishdan oldingi bashorat
Tekshirishdan oldin, qaysi chiziq Pdan o‘tishini bashorat qiling va nima uchun shunday o‘ylaganingizni yozing.
Qiyalik bir xil, joylashuv turlicha
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A uzilgan: y=x−2; B uzluksiz: y=x+1; C nuqtali: y=x+4. P(2; 3) berilgan. Qaysi chiziq Pdan o‘tishini tekshiring. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −4 dan 8 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
A — uzilgan: y=x−2
B — uzluksiz: y=x+1
C — nuqtali: y=x+4
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
Keyin x=2 ni har bir tenglamaga qo‘ying. A 0 ni, B 3 ni, C 6 ni beradi. Pning y qiymati 3, demak berilgan nuqtadan B o‘tadi.
Qiyalik uchalasida ham 1 edi. Nuqta sharti esa aynan Bni ajratdi. Shuning uchun «m ni topdim» bilan «chiziq tenglamasini topdim» bir xil emas.
Qiyalik bir xil, joylashuv turlicha
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A uzilgan: y=x−2; B uzluksiz: y=x+1; C nuqtali: y=x+4. P(2; 3) berilgan. Qaysi chiziq Pdan o‘tishini tekshiring. x=2 da A 0 ni, B 3 ni, C 6 ni beradi. Pning y qiymati 3: B mos. Har uchalasining qiyaligi 1, lekin joylashuvi boshqa. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −4 dan 8 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
A — uzilgan: y=x−2
B — uzluksiz: y=x+1
C — nuqtali: y=x+4
x=2 da A 0 ni, B 3 ni, C 6 ni beradi. Pning y qiymati 3: B mos. Har uchalasining qiyaligi 1, lekin joylashuvi boshqa.
Natijadan keyingi izoh
Nuqta sharti uchala chiziqning umumiy qiyaligidan tashqari qanday ma’lumot berdi? Bashoratingizni qo‘yish natijalari bilan solishtiring.
Original laboratoriya; OpenStax Elementary Algebra 2e, §4.6, bosma 524–528-betlar matematik tayanchi.
P(2; 3) nuqta joyida turadi. Birinchi holatda m=−1. Nuqta sharti: 3=2m+b.
Ochishdan oldingi bashorat
Chiziq Pdan o‘tishi uchun b qanday bo‘lishini avval taxmin qiling. Sababini yozing.
P o‘zgarmaydi; m=−1
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3) joyida turadi. Berilgan qiyalik m=−1. b ni avval bashorat qiling. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −4 dan 8 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
m=−1 da 3=−2+b, demak b=5. Tenglama y=−x+5; Pda −2+5=3.
P o‘zgarmaydi; m=−1
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3) joyida turadi. Berilgan qiyalik m=−1. b ni avval bashorat qiling. 3=2·(−1)+b; b=5. y=−x+5. Nuqta o‘zgarmadi; m va b mos ravishda tanlandi. Chiziq P(2; 3) orqali o‘tadi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −4 dan 8 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Uzluksiz tanlangan chiziq: y=−x+5.
3=2·(−1)+b; b=5. y=−x+5. Nuqta o‘zgarmadi; m va b mos ravishda tanlandi. Chiziq P(2; 3) orqali o‘tadi.
Natijadan keyingi izoh
Nuqta sharti saqlandimi? b va nuqtaning y qiymati qanday farq qiladi?
2-holat · m=0
P(2; 3) o‘zgarmadi. Endi m=0. Nuqta sharti hamon 3=2m+b.
Ochishdan oldingi bashorat
Yangi holat uchun b ni taxmin qiling. Oldingi b ni saqlash mumkinmi? Hisobdan oldingi fikringizni yozing.
P o‘zgarmaydi; m=0
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3) joyida turadi. Berilgan qiyalik m=0. b ni avval bashorat qiling. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −4 dan 8 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
m=0 da 3=0+b, demak b=3. Tenglama y=3. Pdagi y va b bu holatda m=0 sabab teng chiqdi.
P o‘zgarmaydi; m=0
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3) joyida turadi. Berilgan qiyalik m=0. b ni avval bashorat qiling. 3=2·(0)+b; b=3. y=3. Nuqta o‘zgarmadi; m va b mos ravishda tanlandi. Chiziq P(2; 3) orqali o‘tadi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −4 dan 8 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Uzilgan taqqoslash chizig‘i: m=−1, y=−x+5.
Uzluksiz tanlangan chiziq: y=3.
3=2·(0)+b; b=3. y=3. Nuqta o‘zgarmadi; m va b mos ravishda tanlandi. Chiziq P(2; 3) orqali o‘tadi.
Natijadan keyingi izoh
Nuqta o‘zgarmadi, m va b o‘zgardi. Nega bu safar chiziq gorizontal bo‘ldi?
3-holat · m=2
P(2; 3) yana joyida. Endi m=2; 3=2m+b sharti saqlanadi.
Ochishdan oldingi bashorat
b ni ochishdan oldin taxmin qiling va nuqta sharti bilan asoslang.
P o‘zgarmaydi; m=2
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3) joyida turadi. Berilgan qiyalik m=2. b ni avval bashorat qiling. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −4 dan 8 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
m=2 da 3=4+b, demak b=−1. Tenglama y=2x−1; Pda 4−1=3.
Natijalar mos ravishda b=5, b=3, b=−1. Uch chiziq ham Pdan o‘tadi, lekin x=0 dagi qiymatlari turlicha. Siz faqat mni o‘zgartirib, eski bni saqlasangiz, chiziq odatda Pdan chiqib ketadi.
P o‘zgarmaydi; m=2
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3) joyida turadi. Berilgan qiyalik m=2. b ni avval bashorat qiling. 3=2·(2)+b; b=−1. y=2x−1. Nuqta o‘zgarmadi; m va b mos ravishda tanlandi. Chiziq P(2; 3) orqali o‘tadi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −4 dan 8 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Uzilgan taqqoslash chizig‘i: m=0, y=3.
Uzluksiz tanlangan chiziq: y=2x−1.
3=2·(2)+b; b=−1. y=2x−1. Nuqta o‘zgarmadi; m va b mos ravishda tanlandi. Chiziq P(2; 3) orqali o‘tadi.
Natijadan keyingi izoh
Uch holatda o‘zgarmagan va o‘zgargan kattaliklarni ajrating. Faqat m ni almashtirib eski b ni qoldirsangiz nima bo‘ladi?
Original uch holat; OpenStax Elementary Algebra 2e, §4.6, bosma 526–528-betlar matematik tayanchi.
P(2; 3), m=2. Chiziq bo‘ylab x ni 2 dan 5 ga olib boramiz.
Ochishdan oldingi bashorat
Qning y qiymati qanday bo‘ladi? Δx va Δy ni ochishdan oldin bashorat qiling.
P dan Q ga
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3), m=2. Qning x qiymati 5; uning y qiymatini bashorat qiling. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
L3da P(2; 3), m=2. x ni 2 dan 5 ga olib borsak, Δx=3, Δy=6; Q(5; 9) hosil bo‘ladi.
Avval gorizontal siljish, keyin vertikal siljish ko‘rsatiladi. Δy=6 — siljish, y=9 esa Qning koordinatasi.
P dan Q ga
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3), m=2. Qning x qiymati 5; uning y qiymatini bashorat qiling. Q(5; 9). Δx=3, Δy=6; y−3=2(x−2). x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Q(5; 9). Δx=3, Δy=6; y−3=2(x−2).
Natijadan keyingi izoh
Δy bilan Qning y koordinatasi nega bir xil son emas? y−3=2(x−2) yozuvida siljishlarni ko‘rsating.
2-holat · Qdan Pga
Ayni chiziqda Q(5; 9) dan P(2; 3) ga qaytamiz. Chiziqning qiyaligi m=2.
Ochishdan oldingi bashorat
Qaytishdagi Δx va Δy ni avval bashorat qiling. Ularning nisbati o‘zgaradimi?
Q dan P ga
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3), Q(5; 9); berilgan chiziq qiyaligi m=2. Endi Qdan Pga qayting. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
Qdan Pga qaytsak Δx=−3 va Δy=−6. Bitta chiziqda ikkala yo‘nalish bir xil tenglamaga bo‘ysunadi: y−3=2(x−2).
Qiyalik (−6)/(−3)=2. Ikkala yo‘nalishli ayirma ishorasi birga almashdi.
Q dan P ga
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P(2; 3), Q(5; 9); berilgan chiziq qiyaligi m=2. Endi Qdan Pga qayting. Δx=−3, Δy=−6; (−6)/(−3)=2. Qiyalik yo‘nalish qaytarilganda saqlanadi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Δx=−3, Δy=−6; (−6)/(−3)=2. Qiyalik yo‘nalish qaytarilganda saqlanadi.
Natijadan keyingi izoh
Nuqtalar tartibi almashganda qiyalik nega o‘zgarmaydi? Ikkala ayirmaning rolini ayting.
3-holat · Q=P
Qni P(2; 3) ning aynan o‘ziga keltiramiz. Oldindan berilgan chiziqning m=2 qiymati saqlanadi.
Ochishdan oldingi bashorat
Bu holatda Δx, Δy va ularning nisbati haqida nima deysiz? Bu chiziqning oldindan ma’lum qiyaligini yo‘qotadimi?
Q va P bitta nuqta
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P va Q ayni (2; 3) nuqta. Berilgan chiziq qiyaligi m=2. Nol siljishdagi nisbatni baholang. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
Q=P bo‘lsa Δx=0 va Δy=0. Bu juftlikdan qiyalik kasri hisoblanmaydi: 0/0 aniqlanmagan.
Biroq berilgan chiziqning m=2 qiymati yo‘qolmaydi. Siljish tengligida 0=2·0 to‘g‘ri; P chiziqning o‘ziga kiradi.
Q va P bitta nuqta
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
P va Q ayni (2; 3) nuqta. Berilgan chiziq qiyaligi m=2. Nol siljishdagi nisbatni baholang. Δx=0, Δy=0; 0/0 hisoblanmaydi. Ammo berilgan chiziqning qiyaligi hali 2; 0=2·0 tengligi bajariladi. Chiziq vertikalga aylanmadi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Δx=0, Δy=0; 0/0 hisoblanmaydi. Ammo berilgan chiziqning qiyaligi hali 2; 0=2·0 tengligi bajariladi. Chiziq vertikalga aylanmadi.
Natijadan keyingi izoh
Nisbatni hisoblay olmaslik bilan oldindan ma’lum chiziq qiyaligi yo‘qolishi nega boshqa-boshqa hukmlar?
Original uch holat; OpenStax Elementary Algebra 2e, §4.4 va §4.6, bosma 526–528-betlar matematik tayanchi.
Bitta chiziq aniqlanadimi va qaysi tenglama shakli mos? Hisob va grafik ochilishidan oldin bashorat yozing.
Ikki turli x qiymati
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A(−1; −1), B(3; 7). Yagona chiziq aniqlanadimi? x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −3 dan 9 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
L4dagi A(−1;−1), B(3;7) uchun Δx=4, Δy=8, m=2. Masalan A orqali −1=2·(−1)+b → b=1. Tenglama y=2x+1. Bni qo‘yish 7 ni beradi. Nuqtalar tartibini mos ravishda qaytarsak m o‘zgarmaydi.
Ikki turli x qiymati
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A(−1; −1), B(3; 7). Yagona chiziq aniqlanadimi? Δx=4, Δy=8, m=2; b=1. Yagona chiziq: y=2x+1. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −3 dan 9 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Δx=4, Δy=8, m=2; b=1. Yagona chiziq: y=2x+1.
Natijadan keyingi izoh
Ikki nuqtaning turli bo‘lishi va xlarining farqli bo‘lishi bu hisobga qanday imkon berdi?
2-holat · Bir xil xli ikki turli nuqta
A(−1; −1) joyida. Bni (−1; 7) ga suramiz.
Ochishdan oldingi bashorat
Bu holatda bitta chiziq aniqlanadimi? Qaysi tenglama shakli mos? Avval bashorat qiling.
Bir xil x, turli y
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A(−1; −1), B(−1; 7). Yagona chiziq aniqlanadimi? x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −3 dan 9 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
L4ning keyingi holatida Bni (−1; 7) ga suramiz. Endi ikkita turli nuqtada x=−1 o‘zgarmas. Tenglama x=−1; qiyalik kasrida esa maxraj 0 bo‘lgani uchun haqiqiy sonli m aniqlanmagan. Bu «tenglama yo‘q» degani emas.
Bir xil x, turli y
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A(−1; −1), B(−1; 7). Yagona chiziq aniqlanadimi? x=−1 o‘zgarmas. Yagona vertikal chiziq: x=−1; chekli qiyalik aniqlanmagan. Tenglama mavjud. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −3 dan 9 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
x=−1 o‘zgarmas. Yagona vertikal chiziq: x=−1; chekli qiyalik aniqlanmagan. Tenglama mavjud.
Natijadan keyingi izoh
Nega chiziq yagona bo‘lsa ham y=mx+b shakli mos emas? O‘zgarmas koordinata orqali tushuntiring.
3-holat · Takrorlangan bitta nuqta
Bni aynan A(−1; −1) ga qo‘yamiz. Bu ikki alohida joy emas.
Ochishdan oldingi bashorat
Endi yagona chiziq aniqlanadimi? Qiyalik kasri orqali vertikal yoki gorizontal deb hukm qilish mumkinmi?
Takrorlangan nuqta
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A(−1; −1), B(−1; −1). Yagona chiziq aniqlanadimi? x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −3 dan 9 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
Agar Bni aynan A(−1; −1) ga qo‘ysak, endi birgina nuqta ikki marta yozilgan bo‘ladi. Bitta nuqtadan ko‘p chiziq o‘tadi. 0/0dan «vertikal» yoki «gorizontal» degan xulosani chiqarib bo‘lmaydi.
Masalan y=2x+1 va y=−1 ikkalasi ham shu nuqtadan o‘tadi. Bular ko‘p mumkin bo‘lgan chiziqlardan faqat ikkita misol.
Takrorlangan nuqta
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A(−1; −1), B(−1; −1). Yagona chiziq aniqlanadimi? Bitta nuqta ikki marta berilgan; yagona chiziq aniqlanmaydi. Masalan y=2x+1 va y=−1 shu nuqtadan o‘tadi. Bular yagona ikki imkoniyat emas. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −3 dan 9 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Uzluksiz misol: y=2x+1
Uzilgan misol: y=−1
Bitta nuqta ikki marta berilgan; yagona chiziq aniqlanmaydi. Masalan y=2x+1 va y=−1 shu nuqtadan o‘tadi. Bular yagona ikki imkoniyat emas.
Natijadan keyingi izoh
Takroriy nuqta nega yangi mustaqil shart bermaydi? Ko‘rsatilgan ikki chiziq bilan izohlang.
Original uch holat; OpenStax Elementary Algebra 2e, §4.6, bosma 528–530-betlar matematik tayanchi.
Uch yozuv: y−7=2(x−3), y=2x+1, 2x−y=−1. Solishtirish uchun y=2x+7 ham berilgan. A(−1;−1) va B(3;7) nuqtalarini hisobga oling.
Ochishdan oldingi bashorat
Qaysi yozuvlar ayni chiziqni ifodalaydi? Avval bashorat va algebraik asosingizni yozing; grafikni keyin alohida oching.
Yozuv boshqa — chiziq ham boshqami?
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A(−1; −1), B(3; 7). Yozuvlar: y−7=2(x−3); y=2x+1; 2x−y=−1. Taqqoslash uchun y=2x+7 ham berilgan. Avval algebra bilan solishtiring. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −3 dan 9 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
1: y−7=2(x−3)
2: y=2x+1
3: 2x−y=−1
4: y=2x+7
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
Ular tashqi ko‘rinishi turli bo‘lsa ham bir xil shartni ifodalaydi. y−7=2(x−3) dan y−7=2x−6 va y=2x+1. 2x−y=−1 dan ham y=2x+1.
Grafik ularning ustma-ust tushishini ko‘rsatadi; grafik ko‘rinishining o‘zi algebraik dalilni almashtirmaydi. Solishtirish uchun y=2x+7 boshqa chiziq: uning m soni bir xil, lekin A(−1;−1) va B(3;7) shartlarini bajarmaydi.
Algebraik asosdan keyin grafikni ochish
Yozuv boshqa — chiziq ham boshqami?
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
A(−1; −1), B(3; 7). Yozuvlar: y−7=2(x−3); y=2x+1; 2x−y=−1. Taqqoslash uchun y=2x+7 ham berilgan. Avval algebra bilan solishtiring. 1, 2 va 3 ayni y=2x+1 chizig‘i; grafikda bitta uzluksiz chiziq. 4 uzilgan chiziqning qiyaligi ham 2, lekin b=7; A va B shartlarini bajarmaydi. Grafik algebraik dalilning o‘rnini bosmaydi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −3 dan 5 gacha; y −3 dan 9 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
1: y−7=2(x−3)
2: y=2x+1
3: 2x−y=−1
4: y=2x+7
1, 2 va 3 ayni y=2x+1 chizig‘i; grafikda bitta uzluksiz chiziq. 4 uzilgan chiziqning qiyaligi ham 2, lekin b=7; A va B shartlarini bajarmaydi. Grafik algebraik dalilning o‘rnini bosmaydi.
Natijadan keyingi izoh
Algebra nimani isbotladi, grafik nimani ko‘rsatdi? y=2x+7 da qaysi shartlar buziladi?
Original laboratoriya; OpenStax Elementary Algebra 2e, §4.6, bosma 526–530-betlar va teng kuchli algebra tayanchi.
y=2x−1 chizig‘i, P(2; 3) va Q(5; 9) berilgan. O‘qlardagi sonlar va birliklar o‘zgarmaydi. Birinchi tasvirda bir x birligi va bir y birligi uchun bir xil piksel; ikkinchisida x birligi uchun ikki baravar joy ajratiladi.
Ochishdan oldingi bashorat
Ikkinchi ekran masshtabida tenglama va koordinata qiyaligi o‘zgaradimi? Ikki tasvirni ochishdan oldin bashorat qiling.
Birinchi proyeksiya — sx:sy=1:1
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
y=2x−1, P(2; 3), Q(5; 9). Koordinata birliklari o‘zgarmaydi. Birinchi proyeksiyada sx:sy=1:1; ikkinchisida x birligiga ikki baravar joy ajratiladi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Natija, chizma va keyingi izohni ochish
O‘qlardagi sonlar va birliklar o‘zgarmasa, grafikni siqish tenglamani o‘zgartirmaydi. Birinchi tasvirda bir x birligiga bir xil piksel, y birligiga ham shuncha piksel; ikkinchisida x birligi uchun ikki baravar joy ajratilgan. P(2;3) va Q(5;9) baribir shu nuqtalar, m=2. Ekrandagi burchak esa boshqacha.
Har ikki tasvirda Δx=3, Δy=6 va koordinata qiyaligi 2. Piksel bo‘yicha yuqoriga siljish/gorizontal siljish nisbati birinchida 2, ikkinchida 1. Ekran pikseli koordinata birligi emas.
Birinchi proyeksiya — sx:sy=1:1
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
y=2x−1, P(2; 3), Q(5; 9). Koordinata birliklari o‘zgarmaydi. Birinchi proyeksiyada sx:sy=1:1; ikkinchisida x birligiga ikki baravar joy ajratiladi. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Ikkinchi proyeksiya — sx:sy=2:1
x — koordinata; y — koordinata. To‘r qadami: x 1, y 1 birlik.
Chizmaning matnli muqobili
y=2x−1, P(2; 3), Q(5; 9). Koordinata birliklari o‘zgarmaydi. Birinchi proyeksiyada sx:sy=1:1; ikkinchisida x birligiga ikki baravar joy ajratiladi. Ikkinchi proyeksiyada sx:sy=2:1. P va Q koordinatalari o‘zgarmadi; har ikkala chiziqda m=2. Ekrandagi ko‘tarilish/yurish nisbati 2 dan 1 ga o‘zgardi. Bu birlik almashtirish emas. x o‘qi o‘ngga, y o‘qi yuqoriga o‘sadi. Oyna: x −2 dan 6 gacha; y −2 dan 10 gacha. To‘r qadami x 1, y 1 birlik.
Ikkinchi proyeksiyada sx:sy=2:1. P va Q koordinatalari o‘zgarmadi; har ikkala chiziqda m=2. Ekrandagi ko‘tarilish/yurish nisbati 2 dan 1 ga o‘zgardi. Bu birlik almashtirish emas.
Natijadan keyingi izoh
Qaysi kattaliklar saqlandi, qaysi ko‘rinish o‘zgardi? Ekranni kengaytirish bilan sekundni minutga almashtirishni farqlang.
Original ikki proyeksiya; OpenStax Elementary Algebra 2e, §4.4 va §4.6 matematik tayanchi. Ekran proyeksiyasi muallif tatbiqi.
Quyidagi tavsiflar interaktiv darsdagi kuzatish yo‘nalishlarini tushuntiradi. Bu o‘qish nusxasi dalil, baho yoki o‘zlashtirish holatini hisoblamaydi.
Ma’no
m va nuqtaning turli vazifalari, b ning ma’nosi, nol qiyalik bilan aniqlanmagan qiyalik farqi. Faqat b soni yetarli emas.
Amal
Tenglama tuzish, hisoblash va nuqtani shartga qo‘yish. Ochilgan namunani nusxalash mustaqil dalil emas.
Tasvir
Koordinata, birlik qadami, chiziq va tenglama mosligi. Manba grafik yoki matnli muqobil deb ajratiladi; muqobil yordam emas, lekin vizual o‘qish dalili deb belgilanmaydi.
Asos
Algebraik teng kuchlilik va barcha berilgan shartlarni tekshirish. Matnli asos inson yoki tasdiqlangan rubrika ko‘rigigacha «ko‘rib chiqish kerak» holatida qoladi.
Ko‘chirish
T1 yetarlilik, T2 zid shartlar, T3 model chegarasi alohida dalillar. T4 birlik konversiyasi qo‘shimcha kengaytma; asosiy dars uchun majburiy to‘siq emas.
OpenStax, Rice University. HTML va EjIP4sI PDF asosida 2026-10-01 kuni tekshirildi. F3ning barcha 24 topshirig‘i, matni, laboratoriya holatlari va chizma rejalari qo‘lda yozilgan original ish; nashriyot F3ni tasdiqlagan degan da’vo yo‘q. Parallel va perpendikulyar chiziqlar F3ga olinmagan.
1340 elektron sahifa. §4.6 bosma 524–541 (viewer 532–549; indeks 531–548). Qiyalik va y-kesishish: 524–525; nuqta+qiyalik: 526–528; gorizontal: 528; ikki nuqta: 528–530; vertikal: 530; usullar jadvali: 531. Bevosita to‘liq rasmda 525–530 va 539; matni 524–531, 537–539, 541–542 tekshirilgan, butun kitob vizual ko‘rikdan o‘tgan deyilmaydi. HTML 4.58/4.115 alt xatolari va 4.64 dagi vertikalga noto‘g‘ri umumiy shakl talabi F3ga ko‘chirilmagan.
D1 uchun koordinata va nuqtani tenglamaga qo‘yish tayanchi. HTML ochilgan; barcha rasmlar tekshirilgan deyilmaydi, manba rasmlari va altlari ko‘chirilmagan.